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More about the happy numeric coincidence

[ Previously ]

Observing three small examples where the digital sum of !!n^k!! was equal to !!n!!, I said:

I supposed that there were few other examples, probably none … Still I hoped there might be one or two…

but in fact there are a great many; for example the digital sum of !!217^{22}!! is !!217!!.

Dave McKee asked what my intuition was. It was something like this. Fix !!n!! and consider the sequence !!n^2, n^3, …!!. The elements become increasingly sparse, and for their digital sum to equal !!n!! requires increasingly improbable coincidences. For example, taking !!n=3!!, we would need to have !!k!! such that $$3^k = 2·10^p + 1.$$ While I can't immediately rule out this possibility, it seems extremely unlikely. This also resembles the Catalan conjecture, which is that the only nontrivial solution of $$ \left\lvert2^i - 3^j\right\rvert = 1$$ is !!i=3, j=2!!. The Catalan conjecture is indeed true, but it was an open problem for 158 years.

[ Addendum 20190205: I have since learned that the Catalan conjecture actually concerns the more general claim about the equation !! \left\lvert a^i - b^j\right\rvert = 1!!. The special case of !!a=2, b=3!! turns out to be elementary. ]

I was quite mistaken, so what went wrong? First, there is one nontrivial solution to the Catalan conjecture, and here we have not one sequence of !!n^k!! but an infinite family, each of which might have an exceptional solution or two. And second, the case of !!n=3!! is atypically bleak. For !!3^k!! to have a digital sum of !!3!! is a tough order because there are very few sequences of digits whose sum is 3. But the number of sequences of !!d!! digits whose sum is !!n!! grows quite rapidly with !!n!!, and for small !!n!! is very misleading.

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A happy numeric coincidence

A couple of days ago I was pleased to notice the following coincidence:

I supposed that there were few other examples, probably none, and that at least I could prove that there were only a finite number of examples. My expected proof of this didn't work, but I still supposed that there would be no further examples. Still I hoped there might be one or two, so I set the computer to look for them if there were.

My first run produced:

\begin{array}{rcr} 17^3 &=& 4\;913 \\ 18^3 &=& 5\;832\\ 22^4 &=& 234\;256\\ 25^4 &=& 390\;625\\ 26^3 &=& 17\;576\\ 27^3 &=& 19\;683\\ 28^4 &=& 614\;656\\ 36^4 &=& 1\;679\;616\\ \end{array}

Well, that was a happy surprise.

Wait a minute, though:

\begin{array}{rcr} 18 ^{ 6 } &=& 34\;012\;224 \\ 18 ^{ 7 } &=& 612\;220\;032 \\ 27 ^{ 7 } &=& 10\;460\;353\;203 \\ 28 ^{ 5 } &=& 17\;210\;368 \\ 31 ^{ 7 } &=& 27\;512\;614\;111 \\ 34 ^{ 7 } &=& 52\;523\;350\;144 \\ 35 ^{ 5 } &=& 52\;521\;875 \\ 36 ^{ 5 } &=& 60\;466\;176 \\ 43 ^{ 7 } &=& 271\;818\;611\;107 \\ 45 ^{ 6 } &=& 8\;303\;765\;625 \\ 46 ^{ 5 } &=& 205\;962\;976 \\ 46 ^{ 8 } &=& 20\;047\;612\;231\;936 \\ 53 ^{ 7 } &=& 1\;174\;711\;139\;837 \\ 54 ^{ 6 } &=& 24\;794\;911\;296 \\ 54 ^{ 8 } &=& 72\;301\;961\;339\;136 \\ 54 ^{ 9 } &=& 3\;904\;305\;912\;313\;344 \\ 58 ^{ 7 } &=& 2\;207\;984\;167\;552 \\ 63 ^{ 8 } &=& 248\;155\;780\;267\;521 \\ 64 ^{ 6 } &=& 68\;719\;476\;736 \\ 68 ^{ 7 } &=& 6\;722\;988\;818\;432 \\ 71 ^{ 9 } &=& 45\;848\;500\;718\;449\;031 \\ 81 ^{ 9 } &=& 150\;094\;635\;296\;999\;121 \\ 82 ^{ 10 } &=& 13\;744\;803\;133\;596\;058\;624 \\ 85 ^{ 10 } &=& 19\;687\;440\;434\;072\;265\;625 \\ 94 ^{ 10 } &=& 53\;861\;511\;409\;489\;970\;176 \\ 97 ^{ 10 } &=& 73\;742\;412\;689\;492\;826\;049 \\ 106 ^{ 10 } &=& 179\;084\;769\;654\;285\;362\;176 \\ 117 ^{ 10 } &=& 480\;682\;838\;924\;478\;847\;449 \\ \end{array}

Oh my.

\begin{array}{rcr} 20 ^{ 13 } &=& 81\;920 & · 10^{12} \\ 40 ^{ 13 } &=& 671\;088\;640 & · 10^{12} \\ 80 ^{ 17 } &=& 225\;179\;981\;368\;524\;800 & · 10^{15} \\ \hline 80 ^{ 19 } &=& 1\;441\;151\;880\;758\;558\;720 & · 10^{18} \\ 86 ^{ 13 } &=& 14\;076\;019\;706\;120\;526\;112\;710\;656 \\ 90 ^{ 19 } &=& 13\;508\;517\;176\;729\;920\;890 & · 10^{18} \\ \hline 90 ^{ 20 } &=& 1\;215\;766\;545\;905\;692\;880\;100 & · 10^{18} \\ 90 ^{ 21 } &=& 109\;418\;989\;131\;512\;359\;209 & · 10^{21} \\ 90 ^{ 22 } &=& 9\;847\;709\;021\;836\;112\;328\;810 & · 10^{21} \\ \hline 90 ^{ 28 } &=& 5\;233\;476\;330\;273\;605\;372\;135\;115\;210 & · 10^{27} \\ 91 ^{ 14 } &=& 2\;670\;419\;511\;272\;061\;205\;254\;504\;361 \\ 98 ^{ 11 } &=& 8\;007\;313\;507\;497\;959\;524\;352 \\ \hline 103 ^{ 13 } &=& 146\;853\;371\;345\;156\;431\;381\;127\;623 \\ 104 ^{ 13 } &=& 166\;507\;350\;731\;038\;802\;170\;609\;664 \\ 106 ^{ 13 } &=& 213\;292\;826\;014\;568\;334\;917\;410\;816 \\ \hline 107 ^{ 11 } &=& 21\;048\;519\;522\;998\;348\;950\;643 \\ 107 ^{ 13 } &=& 240\;984\;500\;018\;808\;097\;135\;911\;707 \\ 107 ^{ 15 } & = & 2\;759\;031\;540\;715\;333\;904\;109\;053\;133 & & \\ & & 443 & & \\ \hline 108 ^{ 11 } &=& 23\;316\;389\;970\;546\;096\;340\;992 \\ 108 ^{ 12 } &=& 2\;518\;170\;116\;818\;978\;404\;827\;136 \\ 118 ^{ 14 } &=& 101\;472\;439\;712\;019\;470\;540\;189\;876\;224 \\ \hline 126 ^{ 13 } &=& 2\;017\;516\;459\;574\;609\;153\;391\;845\;376 \\ 127 ^{ 14 } &=& 283\;956\;682\;347\;124\;706\;942\;551\;243\;009 \\ 133 ^{ 16 } & = & 9\;585\;753\;470\;490\;322\;141\;591\;520\;062 & & \\ & & 265\;281 & & \\ \hline 134 ^{ 13 } &=& 4\;491\;199\;828\;872\;408\;503\;792\;328\;704 \\ 134 ^{ 15 } & = & 80\;643\;984\;127\;232\;967\;094\;095\;054\;209 & & \\ & & 024 & & \\ 135 ^{ 13 } &=& 4\;946\;966\;739\;525\;117\;513\;427\;734\;375 \\ \hline 135 ^{ 14 } &=& 667\;840\;509\;835\;890\;864\;312\;744\;140\;625 \\ 136 ^{ 15 } & = & 100\;712\;557\;719\;971\;285\;024\;106\;952\;523 & & \\ & & 776 & & \\ 140 ^{ 25 } &=& 449\;987\;958\;058\;483\;731\;145\;152\;266\;240 & · 10^{24} \\ \hline 142 ^{ 16 } & = & 27\;328\;356\;228\;554\;426\;163\;172\;505\;624 & & \\ & & 313\;856 & & \\ 143 ^{ 17 } & = & 4\;372\;327\;021\;734\;283\;642\;004\;853\;327 & & \\ & & 592\;915\;343 & & \\ 152 ^{ 15 } & = & 534\;138\;422\;146\;939\;893\;094\;821\;310\;496 & & \\ & & 768 & & \\ \hline 154 ^{ 14 } & = & 4\;219\;782\;742\;781\;494\;680\;756\;610\;809 & & \\ & & 856 & & \\ 154 ^{ 15 } & = & 649\;846\;542\;388\;350\;180\;836\;518\;064\;717 & & \\ & & 824 & & \\ 155 ^{ 19 } & = & 413\;335\;079\;574\;020\;313\;162\;122\;296\;733 & & \\ & & 856\;201\;171\;875 & & \\ \hline 157 ^{ 19 } & = & 527\;343\;255\;303\;841\;790\;870\;720\;812\;082 & & \\ & & 050\;804\;460\;293 & & \\ 160 ^{ 28 } & = & 51\;922\;968\;585\;348\;276\;285\;304\;963\;292 & & \\ & & 200\;960 & · 10^{27} & \\ 163 ^{ 16 } & = & 248\;314\;265\;639\;726\;167\;358\;751\;235\;626 & & \\ & & 296\;641 & & \\ \hline 169 ^{ 16 } & = & 442\;779\;263\;776\;840\;698\;304\;313\;192\;148 & & \\ & & 785\;281 & & \\ 169 ^{ 22 } & = & 10\;315\;908\;977\;942\;302\;627\;204\;470\;186 & & \\ & & 314\;316\;211\;062\;255\;002\;161 & & \\ 170 ^{ 31 } & = & 1\;392\;889\;173\;388\;510\;144\;614\;180\;174 & & \\ & & 894\;677\;204\;330 & · 10^{30} & \\ \hline 170 ^{ 33 } & = & 40\;254\;497\;110\;927\;943\;179\;349\;807\;054 & & \\ & & 456\;171\;205\;137 & · 10^{33} & \\ 171 ^{ 17 } & = & 91\;397\;407\;411\;741\;874\;683\;083\;843\;738 & & \\ & & 640\;173\;291 & & \\ 171 ^{ 19 } & = & 2\;672\;551\;590\;126\;744\;157\;608\;054\;674 & & \\ & & 761\;577\;307\;202\;131 & & \\ \hline 172 ^{ 18 } & = & 17\;358\;494\;027\;033\;103\;736\;099\;033\;196 & & \\ & & 316\;709\;617\;664 & & \\ 173 ^{ 19 } & = & 3\;333\;311\;951\;341\;729\;629\;204\;978\;703 & & \\ & & 084\;632\;004\;627\;637 & & \\ 181 ^{ 18 } & = & 43\;472\;473\;122\;830\;653\;562\;489\;222\;659 & & \\ & & 449\;707\;872\;441 & & \\ \hline 181 ^{ 19 } & = & 7\;868\;517\;635\;232\;348\;294\;810\;549\;301 & & \\ & & 360\;397\;124\;911\;821 & & \\ 181 ^{ 20 } & = & 1\;424\;201\;691\;977\;055\;041\;360\;709\;423 & & \\ & & 546\;231\;879\;609\;039\;601 & & \\ 189 ^{ 19 } & = & 17\;896\;754\;443\;176\;031\;520\;198\;514\;559 & & \\ & & 819\;163\;143\;441\;509 & & \\ \hline 193 ^{ 22 } & = & 191\;540\;580\;003\;116\;921\;429\;323\;712\;183 & & \\ & & 642\;218\;614\;831\;262\;597\;249 & & \\ 199 ^{ 21 } & = & 1\;887\;620\;149\;539\;230\;539\;058\;375\;534 & & \\ & & 310\;517\;606\;114\;631\;604\;199 & & \\ 207 ^{ 20 } & = & 20\;864\;448\;472\;975\;628\;947\;226\;005\;981 & & \\ & & 267\;194\;447\;042\;584\;001 & & \\ \hline 211 ^{ 25 } & = & 12\;795\;621\;425\;112\;113\;141\;935\;148\;247 & & \\ & & 655\;082\;376\;252\;275\;523\;500\;373\;035\;251 & & \\ 217 ^{ 22 } & = & 2\;524\;144\;100\;572\;738\;110\;818\;511\;483 & & \\ & & 976\;079\;134\;636\;146\;367\;057\;489 & & \\ 221 ^{ 25 } & = & 40\;719\;913\;064\;560\;249\;818\;128\;041\;081 & & \\ & & 360\;346\;218\;088\;750\;603\;039\;104\;925\;501 & & \\ \hline 225 ^{ 22 } & = & 5\;597\;774\;487\;475\;881\;147\;025\;802\;420 & & \\ & & 102\;991\;163\;730\;621\;337\;890\;625 & & \\ 234 ^{ 23 } & = & 3\;104\;307\;401\;943\;398\;225\;947\;002\;752 & & \\ & & 118\;451\;297\;846\;365\;869\;366\;575\;104 & & \\ 236 ^{ 25 } & = & 210\;281\;019\;656\;164\;214\;863\;109\;519\;134 & & \\ & & 145\;127\;118\;463\;502\;897\;144\;582\;373\;376 & & \\ \hline 250 ^{ 40 } & = & 827\;180\;612\;553\;027\;674\;871\;408\;692\;069 & & \\ & & 962\;853\;565\;812\;110\;900\;878\;906\;250 & · 10^{39} & \\ 265 ^{ 28 } & = & 70\;938\;903\;323\;020\;164\;041\;464\;952\;207 & & \\ & & 191\;804\;150\;246\;813\;586\;391\;508\;579\;254 & & \\ & & 150\;390\;625 & & \\ \end{array}

Holy cow.

I should have been able to foresee some of those, like !!20^{13} = 8192·10^{13}!!, which in hindsight is obvious. But seriously, !!163^{16}!!?

(It rather looks like !!265^{28}!! might be the last one where !!n!! is not a multiple of !!10!!, however. Or maybe that is a misleading artifact of the calculating system I am using? I'm not sure yet.)

Happy new year, all.

[ Addendum 20190102: Several readers have confirmed that there are many examples past !!265^{28}!!. I am probably running into some mismatch between the way the computer represents numbers and the way they actually work. ]

[ Addendum 20190102: Dave McKee asked why I thought there would be few examples. ]

[ Addendum 20220521: I have learned that these numbers are sometimes known as Dudeney numbers after famous puzzlist Henry Dudeney. ]

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