# The Universe of Disco

Tue, 01 Jan 2019

A couple of days ago I was pleased to notice the following coincidence:

 !!9^2 = 81!! and !!8 + 1 = 9!! !!8^3 = 512!! and !!5 + 1 + 2 = 8!! !!7^4 = 2401!! and !!2 + 4 + 0 + 1 = 7!!

I supposed that there were few other examples, probably none, and that at least I could prove that there were only a finite number of examples. My expected proof of this didn't work, but I still supposed that there would be no further examples. Still I hoped there might be one or two, so I set the computer to look for them if there were.

My first run produced:

\begin{array}{rcr} 17^3 &=& 4\;913 \\ 18^3 &=& 5\;832\\ 22^4 &=& 234\;256\\ 25^4 &=& 390\;625\\ 26^3 &=& 17\;576\\ 27^3 &=& 19\;683\\ 28^4 &=& 614\;656\\ 36^4 &=& 1\;679\;616\\ \end{array}

Well, that was a happy surprise.

Wait a minute, though:

\begin{array}{rcr} 18 ^{ 6 } &=& 34\;012\;224 \\ 18 ^{ 7 } &=& 612\;220\;032 \\ 27 ^{ 7 } &=& 10\;460\;353\;203 \\ 28 ^{ 5 } &=& 17\;210\;368 \\ 31 ^{ 7 } &=& 27\;512\;614\;111 \\ 34 ^{ 7 } &=& 52\;523\;350\;144 \\ 35 ^{ 5 } &=& 52\;521\;875 \\ 36 ^{ 5 } &=& 60\;466\;176 \\ 43 ^{ 7 } &=& 271\;818\;611\;107 \\ 45 ^{ 6 } &=& 8\;303\;765\;625 \\ 46 ^{ 5 } &=& 205\;962\;976 \\ 46 ^{ 8 } &=& 20\;047\;612\;231\;936 \\ 53 ^{ 7 } &=& 1\;174\;711\;139\;837 \\ 54 ^{ 6 } &=& 24\;794\;911\;296 \\ 54 ^{ 8 } &=& 72\;301\;961\;339\;136 \\ 54 ^{ 9 } &=& 3\;904\;305\;912\;313\;344 \\ 58 ^{ 7 } &=& 2\;207\;984\;167\;552 \\ 63 ^{ 8 } &=& 248\;155\;780\;267\;521 \\ 64 ^{ 6 } &=& 68\;719\;476\;736 \\ 68 ^{ 7 } &=& 6\;722\;988\;818\;432 \\ 71 ^{ 9 } &=& 45\;848\;500\;718\;449\;031 \\ 81 ^{ 9 } &=& 150\;094\;635\;296\;999\;121 \\ 82 ^{ 10 } &=& 13\;744\;803\;133\;596\;058\;624 \\ 85 ^{ 10 } &=& 19\;687\;440\;434\;072\;265\;625 \\ 94 ^{ 10 } &=& 53\;861\;511\;409\;489\;970\;176 \\ 97 ^{ 10 } &=& 73\;742\;412\;689\;492\;826\;049 \\ 106 ^{ 10 } &=& 179\;084\;769\;654\;285\;362\;176 \\ 117 ^{ 10 } &=& 480\;682\;838\;924\;478\;847\;449 \\ \end{array}

Oh my.

\begin{array}{rcr} 20 ^{ 13 } &=& 81\;920 & · 10^{12} \\ 40 ^{ 13 } &=& 671\;088\;640 & · 10^{12} \\ 80 ^{ 17 } &=& 225\;179\;981\;368\;524\;800 & · 10^{15} \\ \hline 80 ^{ 19 } &=& 1\;441\;151\;880\;758\;558\;720 & · 10^{18} \\ 86 ^{ 13 } &=& 14\;076\;019\;706\;120\;526\;112\;710\;656 \\ 90 ^{ 19 } &=& 13\;508\;517\;176\;729\;920\;890 & · 10^{18} \\ \hline 90 ^{ 20 } &=& 1\;215\;766\;545\;905\;692\;880\;100 & · 10^{18} \\ 90 ^{ 21 } &=& 109\;418\;989\;131\;512\;359\;209 & · 10^{21} \\ 90 ^{ 22 } &=& 9\;847\;709\;021\;836\;112\;328\;810 & · 10^{21} \\ \hline 90 ^{ 28 } &=& 5\;233\;476\;330\;273\;605\;372\;135\;115\;210 & · 10^{27} \\ 91 ^{ 14 } &=& 2\;670\;419\;511\;272\;061\;205\;254\;504\;361 \\ 98 ^{ 11 } &=& 8\;007\;313\;507\;497\;959\;524\;352 \\ \hline 103 ^{ 13 } &=& 146\;853\;371\;345\;156\;431\;381\;127\;623 \\ 104 ^{ 13 } &=& 166\;507\;350\;731\;038\;802\;170\;609\;664 \\ 106 ^{ 13 } &=& 213\;292\;826\;014\;568\;334\;917\;410\;816 \\ \hline 107 ^{ 11 } &=& 21\;048\;519\;522\;998\;348\;950\;643 \\ 107 ^{ 13 } &=& 240\;984\;500\;018\;808\;097\;135\;911\;707 \\ 107 ^{ 15 } & = & 2\;759\;031\;540\;715\;333\;904\;109\;053\;133 & & \\ & & 443 & & \\ \hline 108 ^{ 11 } &=& 23\;316\;389\;970\;546\;096\;340\;992 \\ 108 ^{ 12 } &=& 2\;518\;170\;116\;818\;978\;404\;827\;136 \\ 118 ^{ 14 } &=& 101\;472\;439\;712\;019\;470\;540\;189\;876\;224 \\ \hline 126 ^{ 13 } &=& 2\;017\;516\;459\;574\;609\;153\;391\;845\;376 \\ 127 ^{ 14 } &=& 283\;956\;682\;347\;124\;706\;942\;551\;243\;009 \\ 133 ^{ 16 } & = & 9\;585\;753\;470\;490\;322\;141\;591\;520\;062 & & \\ & & 265\;281 & & \\ \hline 134 ^{ 13 } &=& 4\;491\;199\;828\;872\;408\;503\;792\;328\;704 \\ 134 ^{ 15 } & = & 80\;643\;984\;127\;232\;967\;094\;095\;054\;209 & & \\ & & 024 & & \\ 135 ^{ 13 } &=& 4\;946\;966\;739\;525\;117\;513\;427\;734\;375 \\ \hline 135 ^{ 14 } &=& 667\;840\;509\;835\;890\;864\;312\;744\;140\;625 \\ 136 ^{ 15 } & = & 100\;712\;557\;719\;971\;285\;024\;106\;952\;523 & & \\ & & 776 & & \\ 140 ^{ 25 } &=& 449\;987\;958\;058\;483\;731\;145\;152\;266\;240 & · 10^{24} \\ \hline 142 ^{ 16 } & = & 27\;328\;356\;228\;554\;426\;163\;172\;505\;624 & & \\ & & 313\;856 & & \\ 143 ^{ 17 } & = & 4\;372\;327\;021\;734\;283\;642\;004\;853\;327 & & \\ & & 592\;915\;343 & & \\ 152 ^{ 15 } & = & 534\;138\;422\;146\;939\;893\;094\;821\;310\;496 & & \\ & & 768 & & \\ \hline 154 ^{ 14 } & = & 4\;219\;782\;742\;781\;494\;680\;756\;610\;809 & & \\ & & 856 & & \\ 154 ^{ 15 } & = & 649\;846\;542\;388\;350\;180\;836\;518\;064\;717 & & \\ & & 824 & & \\ 155 ^{ 19 } & = & 413\;335\;079\;574\;020\;313\;162\;122\;296\;733 & & \\ & & 856\;201\;171\;875 & & \\ \hline 157 ^{ 19 } & = & 527\;343\;255\;303\;841\;790\;870\;720\;812\;082 & & \\ & & 050\;804\;460\;293 & & \\ 160 ^{ 28 } & = & 51\;922\;968\;585\;348\;276\;285\;304\;963\;292 & & \\ & & 200\;960 & · 10^{27} & \\ 163 ^{ 16 } & = & 248\;314\;265\;639\;726\;167\;358\;751\;235\;626 & & \\ & & 296\;641 & & \\ \hline 169 ^{ 16 } & = & 442\;779\;263\;776\;840\;698\;304\;313\;192\;148 & & \\ & & 785\;281 & & \\ 169 ^{ 22 } & = & 10\;315\;908\;977\;942\;302\;627\;204\;470\;186 & & \\ & & 314\;316\;211\;062\;255\;002\;161 & & \\ 170 ^{ 31 } & = & 1\;392\;889\;173\;388\;510\;144\;614\;180\;174 & & \\ & & 894\;677\;204\;330 & · 10^{30} & \\ \hline 170 ^{ 33 } & = & 40\;254\;497\;110\;927\;943\;179\;349\;807\;054 & & \\ & & 456\;171\;205\;137 & · 10^{33} & \\ 171 ^{ 17 } & = & 91\;397\;407\;411\;741\;874\;683\;083\;843\;738 & & \\ & & 640\;173\;291 & & \\ 171 ^{ 19 } & = & 2\;672\;551\;590\;126\;744\;157\;608\;054\;674 & & \\ & & 761\;577\;307\;202\;131 & & \\ \hline 172 ^{ 18 } & = & 17\;358\;494\;027\;033\;103\;736\;099\;033\;196 & & \\ & & 316\;709\;617\;664 & & \\ 173 ^{ 19 } & = & 3\;333\;311\;951\;341\;729\;629\;204\;978\;703 & & \\ & & 084\;632\;004\;627\;637 & & \\ 181 ^{ 18 } & = & 43\;472\;473\;122\;830\;653\;562\;489\;222\;659 & & \\ & & 449\;707\;872\;441 & & \\ \hline 181 ^{ 19 } & = & 7\;868\;517\;635\;232\;348\;294\;810\;549\;301 & & \\ & & 360\;397\;124\;911\;821 & & \\ 181 ^{ 20 } & = & 1\;424\;201\;691\;977\;055\;041\;360\;709\;423 & & \\ & & 546\;231\;879\;609\;039\;601 & & \\ 189 ^{ 19 } & = & 17\;896\;754\;443\;176\;031\;520\;198\;514\;559 & & \\ & & 819\;163\;143\;441\;509 & & \\ \hline 193 ^{ 22 } & = & 191\;540\;580\;003\;116\;921\;429\;323\;712\;183 & & \\ & & 642\;218\;614\;831\;262\;597\;249 & & \\ 199 ^{ 21 } & = & 1\;887\;620\;149\;539\;230\;539\;058\;375\;534 & & \\ & & 310\;517\;606\;114\;631\;604\;199 & & \\ 207 ^{ 20 } & = & 20\;864\;448\;472\;975\;628\;947\;226\;005\;981 & & \\ & & 267\;194\;447\;042\;584\;001 & & \\ \hline 211 ^{ 25 } & = & 12\;795\;621\;425\;112\;113\;141\;935\;148\;247 & & \\ & & 655\;082\;376\;252\;275\;523\;500\;373\;035\;251 & & \\ 217 ^{ 22 } & = & 2\;524\;144\;100\;572\;738\;110\;818\;511\;483 & & \\ & & 976\;079\;134\;636\;146\;367\;057\;489 & & \\ 221 ^{ 25 } & = & 40\;719\;913\;064\;560\;249\;818\;128\;041\;081 & & \\ & & 360\;346\;218\;088\;750\;603\;039\;104\;925\;501 & & \\ \hline 225 ^{ 22 } & = & 5\;597\;774\;487\;475\;881\;147\;025\;802\;420 & & \\ & & 102\;991\;163\;730\;621\;337\;890\;625 & & \\ 234 ^{ 23 } & = & 3\;104\;307\;401\;943\;398\;225\;947\;002\;752 & & \\ & & 118\;451\;297\;846\;365\;869\;366\;575\;104 & & \\ 236 ^{ 25 } & = & 210\;281\;019\;656\;164\;214\;863\;109\;519\;134 & & \\ & & 145\;127\;118\;463\;502\;897\;144\;582\;373\;376 & & \\ \hline 250 ^{ 40 } & = & 827\;180\;612\;553\;027\;674\;871\;408\;692\;069 & & \\ & & 962\;853\;565\;812\;110\;900\;878\;906\;250 & · 10^{39} & \\ 265 ^{ 28 } & = & 70\;938\;903\;323\;020\;164\;041\;464\;952\;207 & & \\ & & 191\;804\;150\;246\;813\;586\;391\;508\;579\;254 & & \\ & & 150\;390\;625 & & \\ \end{array}

Holy cow.

I should have been able to foresee some of those, like !!20^{13} = 8192·10^{13}!!, which in hindsight is obvious. But seriously, !!163^{16}!!?

(It rather looks like !!265^{28}!! might be the last one where !!n!! is not a multiple of !!10!!, however. Or maybe that is a misleading artifact of the calculating system I am using? I'm not sure yet.)

Happy new year, all.

[ Addendum 20190102: Several readers have confirmed that there are many examples past !!265^{28}!!. I am probably running into some mismatch between the way the computer represents numbers and the way they actually work. ]

[ Addendum 20190102: Dave McKee asked why I thought there would be few examples. ]

[ Addendum 20220521: I have learned that these numbers are sometimes known as Dudeney numbers after famous puzzlist Henry Dudeney. ]